Съдържание

• Стъпки
• Съвети
• Предупреждения

Преди да пристигне калкулаторът, както учениците, така и учителите трябваше да изчислят квадратни корени на ръка. Няколко метода са се развили, за да се справят по-добре с този плашещ процес, някои от които доближават, а други по-точна стойност. За да научите как да изчислявате квадратния корен на ръка с помощта на прости операции, прочетете Етап 1 да започна.

Стъпки

Метод 1 от 2: Използване на прости факторизации

1. 

   Разделете числото на перфектни квадратни коефициенти. Този метод използва факторите на число за изчисляване на квадратен корен (в зависимост от стойността може да е точен или прогнозен отговор). Ти фактори на число са всеки набор от други, които се умножават, за да го постигнат. Можете например да кажете какви са факторите и защо. Перфектните квадрати, от друга страна, са цели числа, получени в резултат на умножението между други цели числа. Стойностите и, например, са перфектни квадрати, защото те могат да бъдат представени съответно от и и. Перфектните квадратни фактори, както можете да си представите, също са идеални квадрати. За да започнете да намирате квадратния корен чрез прости факторизации, намалете стойностите до вашите перфектни квадратни коефициенти.
   • В един пример ще трябва да изчислите квадратния корен на ръката. За начало просто разделете стойността на вашите идеални квадратни коефициенти. Тъй като е кратно на, все още е известно, че се дели на - перфектен квадрат. Бързото мислено разделение ще ви накара да видите, че то се вписва в пъти в числото, което по съвпадение също е перфектен квадрат. Следователно, идеалните квадратни коефициенти на ще бъдат и защо.
   • Първият етап от упражнението ще бъде написан като:

2. 

   
   
   Изчислете квадратните корени на идеалните квадратни множители. Свойството на квадратния корен продукт гласи, че за всякакви стойности и данни. Поради това вече е възможно да се извлекат квадратните корени на факторите и да се умножат, за да се стигне до отговора.
   • Във въпросния пример квадратните корени на и ще бъдат извлечени както следва:

3. 

   
   
   Намалете получената стойност до нейните най-прости условия, ако не е възможно да се раздели перфектно. На практика е малко вероятно числата да са перфектни и точни с фактори, които също са перфектни квадрати (като). В такива случаи може да не е възможно да се излезе с точен цялостен отговор. Вместо това, като определите факторите, които може да са идеални квадрати, можете да изчислите отговора въз основа на по-малък, по-прост и лесен за работа квадратен корен. Просто намалете броя до комбинацията от фактори, които са перфектни квадрати с други, които не са. След това опростете резултата.
   • Да предположим, че квадратният корен от се използва като пример. Това число не е произведение на два перфектни квадрата, така че не е възможно да се получи целочислена стойност, както в предишния случай. Това обаче е продуктът между перфектен квадрат и друго число - д. Тези данни ще бъдат използвани за ускоряване на търсенето на отговора с най-прости думи, както следва:

4. 

   
   
   Ако е необходимо, направете разчети. С квадратния корен в най-простите му термини е по-просто да се изчисли числена реакция, като се определи стойността на останалите квадратни корени и се умножат подходящите стойности. Един от начините да се насочите през тези оценки е да намерите перфектните квадрати до числото в квадратния корен. Ще знаете, че десетичните знаци след това число ще бъдат между тези две стойности и следователно ще бъде по-лесно да се определи какво съществува между тях.
   • Връщайки се към примера и като e, можете да видите, че е между e - и вероятно по-близо до по-големия брой. Когато правите оценка, ще откриете това. Просто проверете работата с помощта на калкулатор и ще забележите, че сте се доближили много до верния отговор ().
     • Това работи и в по-голям брой. Възможно е например да се прецени, че е между и (вероятно по-близо до по-големия брой). Ако e и е между двете стойности, вероятно е квадратният му корен също да е между и. Като се има предвид, че това е малка крачка, можете уверено да заявите, че вашият квадратен корен е скоро под стойността. Когато извършвате изчислението на калкулатор, стигате до резултата - предположението е било вярно.

5. 

   Първо, намалете броя на вашия общи множествени минимуми. Не е необходимо да намирате фактори, които са перфектни квадрати, ако сте в състояние да определите простите множители на число (тоест това са и прости числа). Напишете въпросната стойност въз основа на общия минимум на кратни. След това потърсете двойки прости числа, които съвпадат помежду си. Когато намерите две опции, които отговарят на тези изисквания, извадете ги от квадратния корен и ги поставете а от тях навън.
   • Като пример, опитайте да намерите квадратния корен на с този метод. Известно е, че и това. Поради това е възможно да се запише квадратният корен по отношение на неговите фактори :. Просто вземете двете присъстващи вътре в корена и поставете едно от тях отвън, за да стигнете до най-простите условия :. Оттук нататък е лесно да се оцени.
   • Като последен пример опитайте да изчислите квадратния корен на:
     • 
       Тук има няколко стойности вътре в квадратния корен - тъй като е просто число, просто вземете една от двойките и поставете една от единиците от външната страна.
     • В резултат на това квадратният корен в най-простите си думи ще бъде или. Оттук можете да изчислите стойностите на и ако желаете.

Метод 2 от 2: Изчисляване на квадратни корени ръчно

1. 

   Първо отделете интервалите от числото по двойки. Този метод използва процес, подобен на дългото разделяне, за изчисляване на квадратния корен точно, по една къща в даден момент. Въпреки че не е от решаващо значение, може да откриете, че процесът е по-лесен, когато е организиран визуално и броят е разделен на части. Първото нещо, което трябва да направите, е да нарисувате вертикална линия, разделяща работната зона на два региона, след което да направите по-малка хоризонтална линия близо до горния десен ъгъл, за да имате малък участък отгоре и голям отдолу. Сега отделете интервалите от числото по двойки, започвайки със запетая: следвайки това правило, например, става. Запишете стойността в горната част на лявото пространство.
   • В един пример се опитайте да изчислите квадратния корен на. Направете два реда, за да разделите работната зона, както в предишния случай, и напишете в горната част на лявото пространство и не се притеснявайте, ако вляво вместо само чифт има само едно число. Трябва да напишете отговора () в горната дясна област.

2. 

   Разберете кое е най-голямото цяло число, чийто квадрат е по-малък или равен на броя (или двойка числа) вляво. Започнете с най-лявата част на вашия номер, независимо дали е чифт или изолирана стойност. Определете кой е най-големият перфектен квадрат, който е по-малък или равен на това число, и вземете квадратния му корен: тази стойност е представена от. Запишете го в горния десен интервал и напишете квадрата си в долния десен квадрант.
   • В примера най-лявата част е числото. Както е известно, че е възможно да се твърди, че тъй като това е най-голямата целочислена стойност, чийто квадрат е по-малък или равен на. Запишете в горния квадрант - това ще бъде първият квадрат от резултата. След това напишете (квадрат на) в долния десен квадрант - тази стойност ще бъде важна за следващата стъпка.

3. 

   Извадете новото изчислено число на двойката вляво. Както при дългото разделяне, следващата стъпка е да се извади намереният квадрат от току-що проучената част. Запишете тази стойност под първата част и извършете съответното изваждане, като напишете отговора по-долу.
   • В примера, един ще бъде поставен под този, за да се извърши изваждането. Отговорът тук ще бъде равен на.

4. 

   Слезте до следващата двойка. Преместете следващата част от номера на изследването надолу и до извадената стойност, която току-що открихте. След това умножете стойността в горния десен ъгъл и напишете отговора в долния десен квадрант. Сега просто отделете място за проблема с умножението в следващата стъпка :.
   • В примера следващата налична двойка е. просто го погледнете близо до долния ляв квадрант. След това умножете стойността по и я вземете, така че. Напишете в долния десен ъгъл, последвано от.

5. 

   Попълнете празните места в десния квадрант. Всеки от тях вече ще има едно и също цяло число. Трябва да е най-големият, който позволява резултатът от умножението вдясно да бъде по-малък или равен на броя, който сега присъства вляво.
   • В примера попълване на празните места с резултата :. Това е стойност, по-голяма от. По този начин е твърде голям, но вероятно ще го направи. Напишете в празните места и продължете :. Потвърждава се, че отговаря на нуждите, защото след това напишете числото в горния десен квадрант.Това е вторият квадрат в квадратния корен на.

6. 

   Извадете изчислената стойност от числото сега вляво. Продължете да изваждате в същия стил като дългото разделяне. Вземете резултата от задачата за умножение в десния квадрант и го извадете от стойността, която сега е отляво, поставяйки отговора си точно по-долу.
   • В примера той ще бъде изваден от, в резултат на което.

7. 

   Повторете стъпка 4. Превъртете надолу до следващата част от числото, чийто квадратен корен се изчислява. Когато достигнете запетая, напишете десетичен знак в отговора в горния десен квадрант. След това умножете стойността горе вдясно по и напишете операцията в бяло (), както преди.
   • В примера, тъй като запетаята е достигната сега, напишете я веднага след текущия отговор горе вдясно. След това преместете следващата двойка () в левия квадрант. Като умножавате по стойността горе вдясно (), получавате - пишете в долния десен квадрант.

8. 

   Повторете стъпки 5 и 6. Намерете най-голямата десетична стойност, която може да попълни празните места вдясно, които дават резултат, по-малък или равен на броя в момента отляво. Тогава просто преминете към проблема.
   • В примера ,, което е по-малко или равно на числото вляво (). Наблюдавайки това, което е твърде високо, стигате до заключението, че това е отговорът, който търсите. Запишете го като следващия десетичен знак в горния десен квадрант и извадете резултата от умножаването на числото отляво :.

9. 

   Продължете да изчислявате десетичните знаци. Пуснете чифт нули вляво и повторете Стъпки 4, 5 и 6. За още по-голяма точност продължете да повтаряте процеса, докато не намерите стотните, хилядните и така нататък във вашия отговор. Просто продължете в този цикъл, докато достигнете резултата с желания десетичен знак.

Разбиране на процеса

1. 

   Определете числото, чийто квадратен корен ще бъде изчислен като площ на квадрат. Тъй като тази област има формула, където тя представлява дължината на една от нейните страни, когато се опитвате да намерите квадратния корен от нейната стойност, вие се опитвате да изчислите дължината на въпросния квадрат.

2. 

   Посочете променливите за всеки десетичен знак във вашия отговор. Задайте променливата на първия десетичен знак от (квадратен корен се изчислява), на втория, на третия и т.н.

3. 

   Задайте азбучни променливи на всяка част от началния номер. Свържете променливата с първата двойка десетични знаци в (начална стойност), втората двойка десетични знаци и т.н.

4. 

   Разберете връзката на този метод с дългото разделяне. Този начин на изчисляване на квадратния корен е основно проблем с дълго деление, който разделя началното число на неговия квадратен корен, даване неговия квадратен корен в отговор. Както при проблемите с дълго деление, при които лихвата е насочена към един знак след десетичната запетая, тук трябва да се съсредоточите върху две едновременно (което съответства на следващия квадратен десетичен знак).

5. 

   Намерете най-голямото число, чийто квадрат е по-малък или равен на. Първият десетичен знак в отговора представлява най-голямото цяло число, чийто квадрат не надвишава (така). В примера и, така че.
   • В един пример, ако искате да разделите с помощта на метода на дългото разделяне, първата стъпка ще бъде подобна: трябва да потърсите първата цифра () и да намерите най-голямото цяло число, което, умножено по, би довело до нещо по-малко от или равно на. По принцип става въпрос за намиране на този начин. В този случай би било равно на.

6. 

   Визуализирайте квадрата, чиято площ искате да изчислите. Отговорът, който е квадратният корен от стартовото число, ще бъде представен от, който описва дължината на квадратен квадрат (начален номер). Стойностите за и представляват десетичните знаци, присъстващи в. Друг начин за поставяне на тази дефиниция е да се посочи, че в случай на отговор с два знака след десетичната запетая, в случай на отговор с три знака след десетичната запетая и т.н.
   • В примера ,. Не забравяйте, че той представлява отговора с единици и десетки. Вземайки и като пример, това ще доведе до броя. Ако представлява площта на квадрата, тя представлява площта на най-големия вътрешен квадрат, представлява площта на най-малкия вътрешен квадрат и представлява площта на всеки от останалите правоъгълници. Когато изпълнявате този дълъг и сложен процес, ще имате под ръка цялата квадратна площ, просто добавяйки площите, изчислени от квадратите и правоъгълниците вътре.

7. 

   Изваждане от. Пуснете двойка () десетични знаци. Изразът представлява почти цялата площ на квадрата, от която е изваден най-големият вътрешен квадрат. Останалото от своя страна може да бъде представено от полученото в Стъпка 4 (в примера по-горе). Тук, (площ на двата правоъгълника плюс площта на най-малкия квадрат).

8. 

   Потърсете, също написано като. В примера вече знаете () и () и сега е необходимо да изчислите стойността на. Вероятно няма да е целочислена стойност, така че трябва наистина ли изчислява най-голямата цялостна възможност, която отговаря на условието. Накрая ще ви остане.

9. 

   Решете операцията. За да продължите, умножете по, променете позицията на десетките (еквивалентът на умножаване на стойността по), поставете я в позицията на мерните единици и умножете резултата по. С други думи, просто изпълнете операцията. Същото е както когато пишете (се) в долния десен квадрант, присъстващ в Стъпка 4. Вече в Стъпка 5от своя страна ще намерите най-голямата целочислена стойност, която ще се побере в празното пространство, отговарящо на условието.

10. 

    Извадете площта от общата площ. Това води до пренебрегване на досегашната площ (и която ще се използва за изчисляване на следващите квадрати по подобен начин).

11. 

    За да изчислите следващия десетичен знак, просто повторете процеса. Превъртете надолу до следващата двойка (), за да стигнете наляво и потърсете най-високата стойност, която отговаря на условието (еквивалентно на писане на двойна стойност с два десетични знака, придружени от. Потърсете възможно най-високата десетична стойност в празните места което води до резултат, по-малък или равен на, както преди.

Съвети

• Този метод работи с всяка основа - не само с (десетичната) база.
• В примера може да се разгледа „почивка“:
  
• Алтернативен метод, който използва непрекъснати дроби, следва тази формула:
  
  В един пример, за да се изчисли квадратният корен на, цялото число, чийто квадрат най-точно съвпада с изходното число, е, така че, напр. Когато въвеждате стойностите във формулата и закръглявате оценката, тя вече носи резултата (минимални стойности) или приблизително (). Следващият термин ще бъде или приблизително (). Всеки допълнителен член добавя почти три знака след десетичната запетая с точност по отношение на предишния опит.

Предупреждения

• Не забравяйте да отделите десетичните знаци по двойки от запетая. Разделянето на това как, например, ще доведе до безполезни резултати.