Съдържание

• стъпки
• Съвети

Математиците и графичните програмисти често трябва да намерят ъгъла между два вектора. За щастие, формулата, използвана за изчисляване на този ъгъл, не изисква нищо повече от обикновен скаларен продукт. Въпреки че разсъжденията зад тази формула са по-лесни за разбиране при използване на двуизмерни вектори, лесно можем да я адаптираме към вектори с произволен брой компоненти.

стъпки

Част 1 от 2: Изчислете ъгъла между два вектора

1. 

   Определете двата вектора. Напишете цялата известна информация за двата вектора. За целта на този урок ще приемем, че знаете векторите само по отношение на техните размерни координати (наричани също елементи). Ако вече знаете модул или стандарт от тези вектори (тоест тяхната дължина) можете да пропуснете някои от стъпките по-долу.
   • Пример: ще разгледаме двумерните вектори = (2,2) и = (0,3). Тези два вектора могат да бъдат пренаписани като = 2аз + 2к e = 0аз + 3к = 3к.
   • Въпреки че в нашия пример се използват два двумерни вектора, можем да приложим следните инструкции към вектори с произволен брой компоненти.

2. 

   
   
   Напишете формулата на косинуса. За да намерим стойността на ъгъла θ между всеки два вектора, първо трябва да изчислим косинуса на този ъгъл. Можете да търсите и разберете формулата подробно или просто да я напишете, както е по-долу:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| представлява модул (или дължина) на вектора ".
   • • представлява скаларен продукт (или вътрешен продукт) на двата вектора.

3. 

   
   
   Изчислете модула на всеки вектор. Представете си десен триъгълник, образуван от компонента х на вектор, неговия компонент ш и самия вектор. В този триъгълник векторът играе ролята на хипотенузата; следователно, за да намерим дължината му, ще приложим Питагоровата теорема. В резултат тази формула е лесно приложима за вектори с произволен брой компоненти.
   • || u || = u₁ + ф₂, Ако векторът има повече от два компонента, просто продължете да добавяте + u₃ + ф₄ +...
   • Следователно за двуизмерен вектор ще трябва да го направим || u || = √ (u₁ + ф₂).
   • В нашия пример, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Изчислете скаларния продукт между двата вектора. Вече трябва да знаете метода за умножение на векторите, наричан също скаларен продукт, За да изчислим скаларното произведение на два вектора по отношение на техните компоненти, ние умножаваме компонентите в една и съща посока помежду си и след това добавяме резултатите от тези продукти.
   • Ако работите с компютърни графични програми, първо посетете секцията „Съвети“, преди да продължите.
   • В математически план, • = u₁V₁ + ф₂V₂, където u = (u₁, ф₂). Ако вашият вектор има повече от два компонента, просто продължете да добавяте + u₃V₃ + ф₄V₄...
   • В нашия пример • = u₁V₁ + ф₂V₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6, Това е стойността на скаларния продукт между векторите и.

5. 

   Заменете тези резултати с косинусовата формула. Помнете, cosθ = (•) / (|||| || ||). Вече сме изчислили скаларния продукт и модула на двата вектора. Сега нека заменим тези стойности във формулата и да изчислим косинуса на ъгъла.
   • В нашия пример cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Намерете ъгъла въз основа на вашия косинус.
   Използвайте функцията на дъгата или cos на вашия калкулатор, за да определите ъгъла θ от вашата стойност на косинус. В някои случаи може да успеете да намерите стойността на ъгъла въз основа на единичния кръг.
   • В нашия пример cosθ = √2 / 2. Въведете "arccos (√2 ​​/ 2)" в калкулатора си, за да намерите ъгъла. Друг вариант е да се търси ъгълът θ на единичния кръг, където cosθ = √2 / 2: това ще важи за θ = /₄ или 45 °.
   • Събирайки цялата информация заедно, ще имаме окончателната формула θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Част 2 от 2: Определяне на формулата за изчисляване на ъгъла

1. 

   Разберете целта на формулата. Формулата, която използвахме за изчисляване на ъгъла между два вектора, не се извлича от предишни правила; вместо това той е създаден като определение на скаларния продукт между два вектора и ъгъла между тях. Това решение обаче не е произволно. С по-подробно разглеждане на основната геометрия можем да видим защо тази формула води до такива полезни и интуитивни определения.
   • Следващите примери използват двумерни вектори, защото те са най-интуитивният тип за работа. Векторите с три или повече измерения имат свойствата си определени от общата формула (също по много подобен начин).

2. 

   Прегледайте закона за косинусите. Във всеки триъгълник помислете за ъгъла θ, образуван от страните Най- и B и отстрани ° С срещу този ъгъл. Според косинусния закон, c = a + b -2abпояс(Θ). Демонстрацията на тази формула може лесно да се получи от знания за основна геометрия.

3. 

   Свържете двата вектора, за да образувате триъгълник. Начертайте чифт вектори и с ъгъл θ между тях. След това нарисувайте трети вектор между тях, за да образувате триъгълник. С други думи, нарисувайте вектора такъв, че + =, или просто = -.

4. 

   Приложете косинусовия закон към този триъгълник. Заменете дължината на страните на нашите вектор триъгълник (тоест векторния модул) във формулата за косинусовия закон:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || а || || b ||пояс(θ)

5. 

   Пренапишете формулата, като използвате скаларни продукти. Не забравяйте, че точков продукт е уголемяването на един вектор, проектиран върху друг. Самият скаларен продукт на вектор не изисква проекция, тъй като няма промяна в посоката. Това означава, че • = || a || Въз основа на тази информация, нека пренапишем уравнението на косинусовия закон:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||пояс(θ)

6. 

   Опростете формулата. Разгънете продуктите от лявата страна на уравнението и след това го опростете, докато стигнете до формулата, която познаваме за изчисляване на ъгли.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||пояс(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||пояс(θ)
   • -2 (•) = -2 || а || || b ||пояс(θ)
   • • = || a || || b ||пояс(θ)

Съвети

• За бърза разделителна способност приложете следната формула към всяка двуизмерна векторна двойка: cosθ = (u₁ • v₁ + ф₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ако работите с компютърни графични програми, най-вероятно ще трябва да знаете само посоката на векторите, а не тяхната дължина. Следвайте стъпките по-долу, за да опростите уравненията и да ускорите вашата програма:
  • Нормализирайте всеки вектор, тоест намерете единичния вектор, който има същата посока като оригиналния вектор. За да направите това, разделете всеки компонент на вектора от векторния модул.
  • Изчислете скаларното произведение на нормализираните вектори, а не оригиналните вектори.
  • Тъй като модулът (тоест дължината) на нормализираните вектори е единен, можем да ги оставим извън формулата. Вашето окончателно уравнение за изчисляване на ъгли ще бъде дъги (•).
• Въз основа на формулата на косинусовия закон можем бързо да разберем дали въпросният ъгъл е остър или тъп. Започнете с cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Лявата и дясната страна на уравнението трябва да имат същия знак (положителен или отрицателен).
  • Тъй като дължините са винаги положителни, cosθ винаги ще има същия знак като скаларния продукт.
  • Следователно, ако скаларният продукт е положителен, cosθ ще бъде положителен. Това означава, че ъгълът е в първия квадрант на единичната окръжност, тоест θ <π / 2 или 90 °. Следователно ъгълът е остър.
  • Ако скаларният продукт е отрицателен, cosθ е отрицателен. Това означава, че ъгълът е във втория квадрант на единичния кръг, тоест π / 2 <θ ≤ π или 90 ° <θ ≤ 180 °. Следователно ъгълът е тъп.