Съдържание

• стъпки
• Съвети

За тези, които имат затруднения с математиката, виждането на символа на квадратен корен може да причини студени тръпки. Проблемите с този оператор обаче не са толкова трудни, колкото се появяват. Понякога простите проблеми с корен с квадрат могат да бъдат толкова лесни, колкото обикновено умножение или деление. От друга страна, по-сложните проблеми могат да бъдат повече работа. Все пак с правилния подход всички те ще изглеждат лесно. Започнете да практикувате проблеми с квадратни корени сега и научете това ново математическо умение радикален!

стъпки

Част 1 от 3: Разберете концепцията за квадратни и квадратни корени

1. 

   Преди да разберете квадратните корени, първо разберете какво е квадратът на числото. Лесно е да се разбере. За да квадратнете число, просто го умножете по себе си. Например 3 квадрата са същите като 3 × 3 = 9, а 9 квадрата са същите като 9 × 9 = 81. Квадратите са обозначени с малко „2“ в горната дясна страна на числото, което трябва да бъде повдигнато, така: 3, 9, 100 и така нататък.
   • За да практикувате концепцията, опитайте се да нагласите още няколко числа. Не забравяйте, че подреждането на число просто го умножава от само себе си. Можете да направите това дори и с отрицателни числа, но не забравяйте, че в този случай отговорът винаги ще бъде положителен. Например, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   За да намерите квадратния корен, намерете "обратната" на потенциала. Коренният символ (√, наричан още „радикален“) в основата си означава „противоположната“ на символа. Когато видите радикал, запитайте се: „Кое число мога да умножа по себе си, така че резултатът да е числото в радикала?“ Например, когато видите √ (9), опитайте се да намерите числото, което е квадрат, равен на 9. В този случай отговорът ще бъде тризащото 3 = 9.
   • Друг пример: нека да намерим квадратния корен от 25 (√ (25)). Това означава, че трябва да намерим числото, което в квадрат е равно на 25. Тъй като 5 = 5 × 5 = 25, можем да кажем, че √ (25) = 5.
   • Можете също да мислите за тази операция като начин за „отмяна“ на квадратна кота. Например, ако трябва да намерим √ (64), квадратен корен от 64, трябва да мислим за 64 като 8. Тъй като квадратният корен в основата си „отменя“ квадрат на кота, можем да кажем, че √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Разберете разликата между перфектните квадратни числа и несъвършените квадратни числа. Досега отговорите на нашите проблеми с квадратния корен са цели числа. Това не винаги ще се случи. Всъщност резултатът от радиационна операция понякога може да доведе до дълги сложни десетични знаци. Ако коренът на число е цяло число, тоест, ако не е дроб или десетична, ще се извиква перфектен квадрат, Всички примери, показани по-горе (9, 25 и 64), са перфектни квадрати, защото техните корени са цели числа (съответно 3, 5 и 8).
   • От друга страна се наричат ​​числа, чиито корени не са цели несъвършени квадратчета, При изчисляване на корена на едно от тези числа ще получим резултат, който обикновено е дроб или десетична. Понякога включените десетични знаци могат да бъдат доста сложни, както в примера: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Запомнете поне първите 12 идеални квадрата. Както показахме, изчисляването на квадратния корен на число може да бъде много лесно! Затова е важно да отделите време за запаметяване на квадратните корени на първата дузина перфектни квадрати. Те са склонни да се появяват много на тестове, така че запаметяването им може да ви спести много време. Първите 12 идеални квадрата са:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Когато е възможно, опростете корените, като премахнете перфектните квадратчета. Намирането на квадратния корен на несъвършените квадратчета може да бъде доста сложно, особено ако няма наличен калкулатор (в секциите по-долу ще научите трикове за опростяване на процеса). Въпреки това, понякога е възможно да се опростят числата в корена, за да се улеснят изчисленията. Просто разделете числото вътре в корена на фактори, след което изчислете корена на факторите, които са перфектни квадрати и напишете отговора извън радикала. Това е по-лесно, отколкото изглежда. Вижте по-долу, за да разберете по-добре!
   • Да кажем, че трябва да намерите корена на 900. Първоначално изглежда, че е доста трудна задача! Всичко е много по-лесно, ако разделим 900-те на фактори. Факторите на числото "x" са набор от числа, които, ако бъдат умножени, водят до "x". Например можем да получим 6, като умножим 1 × 6 и 2 × 3, така че коефициентите на 6 са 1, 2, 3 и 6.
   • Вместо да работим с 900, което може да е малко странно, нека вместо това да го запишем като 9 × 100. Сега, тъй като 9, което е перфектен квадрат, е отделено от 100, можем да изчислим неговия квадратен корен. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Тоест √ (900) = 3√(100).
   • Все още можем да опростим още два пъти, като разделим 100 на фактори 25 и 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Значи, можем да кажем, че √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Използвайте въображаеми числа, за да изчислите корена на отрицателните числа. Запитайте се, кое число, умножено по себе си, води до -16? Не е 4 или -4, защото квадратът на тези две числа е 16. Трябва ли да се откажем? Всъщност няма начин да напишете квадратния корен от -16 или друго отрицателно число, използвайки само реални числа. В такива случаи трябва да използваме въображаеми числа (обикновено под формата на букви или символи), за да заменим квадратния корен на отрицателно число. Променливата "i" например се използва за обозначаване на квадратния корен на -1. Като общо правило, коренът на отрицателно число винаги ще бъде (или поне включва) въображаемо число.
   • Не забравяйте, че въпреки че въображаемите числа не могат да бъдат представени с реални числа, те все още могат да бъдат третирани като такива по някакъв начин. Например, коренът на отрицателно число „-x“, ако е квадрат, също води до „-x“, подобно на всеки друг корен. Тоест, i = -1

Част 2 от 3: Използване на методи, подобни на дълги раздели

1. 

   Отнасяйте се с проблема с квадратния корен, сякаш това е дълго разделение. Въпреки че сте малко трудоемки, можете да намерите квадратния корен на сложни несъвършени квадратни числа, без да използвате калкулатор. Методът (или алгоритъмът) е подобен (но не е същият) на този на дългото разделяне. Дългото разделение е онзи традиционен метод, използван за изчисляване на разделенията на ръка.
   • Започнете с първоначалното позициониране на проблема, което ще бъде подобно на това на дългото разделение. Например, да кажем, че трябва да намерите корена 6,45, което определено не е перфектен квадрат. Първо, ние пишем квадратен корен символ (√) и след това поставяме нашето число вътре в него. След това трябва да направим линия от символа √, докато покрие цялото число, оставяйки го вътре в поле, подобно на онова, където е разделителят на дългото разделяне. Разликата е, че тук отговорът ще бъде над това поле, а не отдолу, както в традиционното разделение. Когато приключим, ще имаме удължен знак "√", покриващ цялото число от 6,45.
   • Нека напишем числа в това поле, така че оставете място.

2. 

   Групирайте цифрите по двойки. За да започнете да решавате проблема, групирайте цифрите на числото вътре в стъблото по двойки, започвайки с десетичната запетая. Можете да направите малки маркировки (като периоди, барове, запетаи и т.н.) между двойки, за да ги разделите.
   • В нашия пример трябва да разделим 6,45 на три двойки, като този: 6-,45-00, Вижте, че има една по-малка цифра от лявата страна, няма проблем с това.

3. 

   Намерете най-голямото число, чийто квадрат е по-малък или равен на стойността на първата „група“. Започнете с първата двойка числа от лявата страна. Изберете най-голямото число, чийто квадрат е по-малък или равен на „групата“. Например, ако групата е била 37, изберете 6, защото 6 = 36 <37, но 7 = 49> 37. Напишете това число над първата група. Това е първата цифра от отговора.
   • В нашия пример първата група в 6- 45-00 е 6. Първото най-голямо число, чийто квадрат е по-малък или равен на 6, е 2, защото 2 = 4. Напишете "2" над 6, което е вътре в радикала.

4. 

   Погледнете първата цифра на отговора (числото, което току-що намерихме) и го умножете по две. Сега напишете резултата под първата група и извършете изваждане, за да намерите разликата. След това превъртете надолу следващата двойка числа, като ги добавите към разликата, която току-що намерихме. Накрая напишете последната цифра, удвоете първата цифра на отговора отляво и оставете интервал до нея.
   • В нашия пример първата стъпка ще бъде да се намери двойникът на 2, което е първата цифра на отговора. 2 × 2 = 4. След това трябва да извадим 4 от 6 (първата ни „група“), получавайки 2 като отговор. Сега трябва да слезем до следващата група (45), за да получим 245. Накрая пишем отново 4 отляво, оставяйки малко празно пространство от дясната страна, като това: 4_.

5. 

   Попълнете празното пространство. Сега трябва да поставим цифра на мястото на празното пространство до числото, което пишем отляво. Изберете цифрата, която, умножена по числото отляво с празното празно пространство, заменено със себе си, има максимална стойност, но по-малка от числото от дясната страна. Това може да изглежда малко сложно, така че нека да видим няколко примера, за да разберем. Ако числото, което слезе надолу, тоест това от дясната страна, е 1700, а числото отдясно е 40_, бихме попълнили празното число с числото 4, защото 404 × 4 = 1616 <1700 и 405 × 5 = 2025 Числото, намерено в тази стъпка, ще бъде втората цифра на отговора, така че можете да го добавите над символа на ствола.
   • В нашия пример трябва да намерим числото, което да попълни празното пространство в 4_ × _, което прави отговора възможно най-голям, но по-малък или равен на 245. В нашия случай отговорът е 5защото 45 × 5 = 225 и 46 × 6 = 276.

6. 

   Продължете да използвате числата, които попълват празните места, за да съставите отговора. Продължете този модифициран метод за дълго разделяне, докато не започнете да получавате нули, като извадите числото, което се спуска от радикала или докато достигнете желаното ниво на точност. Когато приключите, числата, използвани за попълване на празните места на всяка стъпка (и, разбира се, първото число, което използваме) ще съставят цифрите за отговор.
   • Продължавайки нашия пример, ще извадим 225 от 245, за да получим 20. След това бихме спуснали двойката цифри 00, за да получим 2000. Като удвоим числата над радикала, имаме 25 × 2 = 50. Чрез задаване на празното число на 50_ × _ = / <2000, получаваме 3, В този момент имаме "253" за радикала. Повтаряйки процеса отново, получаваме 9 като следваща цифра.

7. 

   Поставете запетаята в правилната позиция в отговора. За да завършим отговора, все още трябва да поставим десетичната запетая на правилното място. Тази част е лесна: просто поставете запетаята в отговора в същото положение като запетаята в числото вътре в радикала. Например, ако числото вътре в радикала е 49,8, просто поставете запетаята в отговора на мястото, съответстващо на това по-долу, тоест между двете числа над 9 и 8.
   • В нашия пример числото в радикала е 6,45. За да получите отговора, просто поставете запетаята между числата над 6 и 4, които в този случай са съответно 2 и 5, за да получите отговора: 2,539.

Част 3 от 3: Бързо оценяване на несъвършените квадрати

1. 

   Намерете отговора чрез оценка. След като знаете корена на някои съвършени квадратчета, намирането на корена на несъвършените квадратчета ще бъде много по-лесно. В предишна стъпка препоръчваме да запомните поне първите дванадесет перфектни квадрати и техните корени. Добрата новина е, че можем да използваме оценката, за да получим приближение на корена на несъвършен квадрат, който е между два съвършени квадрата, които знаем. За това трябва да намерим първия перфектен квадрат, по-голям от желаното число, и последния по-малък, така че въпросното число да е между двете. След това трябва да се опитаме да разберем кой от тези два съвършени квадрата е най-близо до корена на желаното число.
   • Например, да предположим, че трябва да намерим квадратния корен от 40. Тъй като запаметяваме перфектните си квадратчета, можем да кажем, че 40 е между 6 и 7, тоест между 36 и 49. Тъй като 40 е по-голямо от 6, вашият квадратен корен ще бъде по-голям от 6. По същия начин, тъй като е по-малък от 7, неговият корен ще бъде по-малък от 7. 40 е малко по-близо до 36, отколкото 49, така че нашият отговор вероятно ще бъде по-близо до 6. В следващите стъпки , ще увеличим точността на нашата оценка.

2. 

   Увеличете точността до един десетичен знак. След като откриете двата последователни перфектни квадрата, които образуват диапазон, който съдържа вашето число, просто се опитайте да увеличите точността на оценката до точка, която смятате за задоволителна. Колкото повече се правят опити за подобряване на оценката, толкова по-голяма е точността. За начало оценете стойността на първия десетичен знак. Тази оценка не трябва да е правилна, но използването на логиката за избор на стойност, която вероятно е най-близка до отговора, ще улесни процеса.
   • В нашия пример може да бъде приемлива оценка за квадратния корен от 40 6,4, защото вече знаем, че отговорът вероятно е малко по-близък до 6 от 7.

3. 

   Умножете оценката по себе си. Освен ако нямате голям късмет, резултатът няма да бъде стартовото число (40, в нашия пример). Ще трябва да коригирате оценката, за да се доближите до верния отговор.Ако резултатът е над началното число (тоест над 40), опитайте по-ниска оценка. По същия начин, ако резултатът е под желаното число, увеличете прогнозата.
   • Умножете 6.4 от себе си, за да получите 6.4 × 6.4 = 40,96, което е малко по-високо от първоначалното ни число.
   • Сега, тъй като нашата оценка беше малко над правилната стойност, така че нека я намалим с една десета, за да получим 6,3 × 6,3 = 39,69, Сега резултатът беше малко по-малък от оригиналния ни номер. Това означава, че коренът на 40 е някакво число между 6.3 и 6.4, Освен това, тъй като 39.69 е по-близо до 40, отколкото 40.96, знаем, че коренът ще бъде по-близо до 6.3, а не 6.4.

4. 

   Продължете да подобрявате оценката, ако е необходимо. На този етап, ако сте доволни от отговора, използвайте едно от първите приближения като оценка. Ако обаче имате нужда от по-точен отговор, просто се опитайте да прецените втори десетичен знак, като изберете стойност между предходните две (тоест между 6.3 и 6.4). Използвайки този метод, можем да оценим три десетични знака, четири, пет и т.н., в зависимост само от точността, необходима за отговора.
   • В нашия пример можем да изберем 6,33, за да направим нашата оценка до два десетични знака. Умножете 6.33 по себе си, за да получите 6.33 × 6.33 = 40.0689. Тъй като този резултат беше малко над първоначалното ни число, можем да изберем малко по-ниска стойност, като 6.32. В този случай 6,32 × 6,32 = 39,9424, резултат малко под началното число. Следователно можем да заключим, че точният корен на 40 е между 6.32 и 6.33, Ако е необходимо, можем да продължим този метод, за да получим все по-точни приближения към корена на желаното число.

Съвети

• Ако имате нужда от бързо поправяне, използвайте калкулатор. Повечето съвременни калкулатори могат да изчислят квадратни корени моментално. По принцип просто въведете произволен номер и натиснете бутона с символа на квадратния корен. Например, за да намерите корена на 841, просто натиснете 8, 4, 1 и след това (√), за да получите отговора: 39.